T3 PROGRAMACIÓN LINEAL
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EJERCICIOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL
pasos que se deben seguir:
1) Obtener inecuaciones a partir del enunciado del problema.
2) Gráfica: Dibujar las rectas y flechas indicando zonas que cumplen con la inecuación, para ello:
2.1) Realizar una Tabla de valores para cada una de las inecuaciones. En cada una de las tablas de valores, es suficiente con hallar 2 puntos ya que se trata de una recta. Se recomienda, hacer uno de los puntos con X=0, y otro de los puntos con Y=0.
2.2) Determinar el lado de la recta que cumple con la inecuación. Para ello, sustituimos en la inecuación el punto 0,0 (hacemos X=0 e Y=0) y comprobamos si cumple.
3) Sombrear el recinto que cumple con todas las condiciones.
4) Determinar la función objetivo (normalmente, es aquella función en la que se "habla" de beneficios o gastos). Por ejemplo: Vendiendo 2 tipos de pulseras (X e Y) utilizo unos determinados materiales. En la venta, gano 5€ con el objeto X y 8€ con el objeto Y. La función objetivo sería: 5X + 8Y = K. El beneficio (K) dependerá del punto en el que me sitúe.
5) Obtener el punto de máximo beneficio o mínimo gasto. Para ello se debe calcular el beneficio o gasto en cada uno de los puntos que forman el recinto. Otro modo de hacerlo es determinar la dirección de las rectas de la función objetivo y mover la recta hasta tocar el recinto.
Ejemplo resuelto de problemas de programación lineal:
EJERCICIO 1 (resuelto)
Con
motivo de un viaje de fin de curso, los alumnos de bachillerato deciden
fabricar y vender dos tipos de pulseras para recaudar fondos.
El primer tipo (X) utiliza 4
cristales verdes y 3 piezas de plata.
El segundo tipo (Y) de pulsera necesita 5 cristales verdes y 10 piezas de plata.
Disponemos de un total de 60 cristales verdes y 80 piezas de plata.
Las pulseras del primer tipo se venderán a 15 € y las del segundo tipo a 32€.
pasos que se deben seguir:
1) Obtener inecuaciones.
Inecuación cristales verdes: 4x + 5y ≤ 60 ; Inecuación piezas de plata: 3x + 10y ≤ 80
x≥0 ; y≥0
2) Gráfica: Dibujar las rectas y flechas indicando zonas que cumplen con la inecuación, para ello:
2.1) Tablas de valores.
Para: 4x + 5y ≤ 60 Puntos de la recta: (0, 12) y (15, 0)
Para: 3x + 10y ≤ 80 Puntos de la recta: (0, 8) y (26.6 , 0)
2.2)
Determinar el lado de la recta que cumple con la inecuación.
Sustituimos
Punto (0,0) en 4x + 5y ≤ 60 ;
4·0 + 5·0 ≤ 60 ;
0 + 0 ≤ 60
;
0 ≤ 60 es cierto, por lo tanto la zona en la que se sitúa el punto (0,0) es válida.
Sustituimos Punto (0,0) en 3x + 10y ≤ 80 ;
3·0 + 10·0 ≤ 80 ;
0 + 0 ≤
60 ;
0 ≤ 80 es cierto, por lo tanto la zona en la que se sitúa el punto (0,0) es válida.
3) Sombrear el recinto que cumple con todas las condiciones.
Indicar también, los puntos donde cambia la recta (A, B y C).
5) Obtener el punto de máximo beneficio. Para ello se debe calcular el beneficio en cada uno de los puntos que forman el recinto.
Ganancias:
Punto A (0, 8)
15·0 + 32·8 = K ;
0 + 256 = 256 €
Punto B: para sacar coordenadas del punto B, primero debo resolver el sistema de ecuaciones:
4x + 5y = 60
3x + 10y = 80
Resolveré por reducción, multiplicando por 2 la primera ecuación y restando las ecuaciones. X=8 e Y=5,6
Punto B (8 , 5.6)
15 · 8 + 32 · 5,6 = K ;
120 + 179,2 = 299,2 €
Punto C (15, 0)
15·15 + 32·0 = K ;
120 + 0 = 225 €
El mayor beneficio se obtiene en el Punto B (8 , 5.6). Fabricando 8 pulseras del primer tipo y 5 del segundo (se toma redondeo hacia abajo). La ganancia real sería de:
15 · 8 + 32 · 5 = K ;
120 + 160 = 280 €
Otro modo de hacerlo es determinar la dirección de las rectas de la función objetivo y mover la recta de forma paralela hasta tocar el recinto. En nuestro caso lo hace en el punto B.
Para hallar una de las rectas paralelas a la función objetivo, sustituimos K por cualquier número y hacemos una tabla de valores con dos puntos. Dibujamos la recta y hacemos una paralela hasta tocar el recinto.
Ejemplos de problema de programación lineal:
EJERCICIO 2
Para elaborar unos cuadernos con hojas a dos colores (hojas blancas y hojas amarillas), disponemos de 160 hojas blancas y de 190 hojas amarillas. El primer tipo de cuaderno lleva 10 hojas blancas y 7 amarillas. El segundo tipo de cuaderno, 6 hojas blancas y 12 amarillas. Los cuadernos se venderán a 5 € y 8 € respectivamente.
Calcula el número de cuadernos de cada tipo que deberé elaborar para obtener el máximo beneficio.
https://www.geogebra.org/m/Y0JL7MXh
EJERCICIO 3
En una fábrica se construyen dos tipos de mesas: las de tipo A con 2 m² de madera, requieren 1 hora de trabajo. La venta de una mesa tipo A supone un beneficio de 80 € cada una. Las mesas de tipo B con 1 m² de madera, suponen 3 horas de trabajo y 50 € de beneficio. Si hay 600 m² de madera y un máximo de 900 horas, determina cómo obtener el máximo beneficio.
https://www.geogebra.org/m/uykkUg7y
EJERCICIO 4
Un estudiante dedica parte de su tiempo al reparto de propaganda publicitaria. La empresa A le paga 5€ por cada impreso repartido, y la empresa B, que edita folletos más grandes, le paga 7€ por impreso. El estudiante lleva dos bolsas, una para los impresos A, en la que caben 120 y otra los impresos B, en la que caben 100. Ha calculado que cada día es capaz de repartir 150 impresos como máximo, lo que se pregunta el estudiante es
¿Cuántos impresos deberá repartir de cada clase, para que su beneficio diario sea máximo?
Objetivo: maximizar beneficio.
EJERCICIO 5Para recorrer un determinado trayecto, una compañía aérea desea ofertar, a lo sumo, 5.000 plazas de dos tipos: T(turista) y P(primera). La ganancia correspondiente a cada plaza de tipo T es de 30€, mientras que la ganancia del tipo P es de 40€.
El número de plazas tipo T no puede exceder de 4.500 y el del tipo P, debe ser, como máximo, la tercera parte de las del tipo T que se oferten.
Calcular cuántas tienen que ofertarse de cada clase para que las ganancias sean máximas.
EJERCICIO 6